Lillifors检验是Kolmogorov-Smirnov检验的修正版，专门用于检验样本是否服从正态分布，尤其适用于总体均值和方差未知的情况，在Python中，可通过scipy.stats.lilliefors函数实现，它自动用样本估计参数，克服了传统KS检验在正态性检验中的局限性，该检验广泛应用于数据预处理阶段，帮助判断数据是否符合正态分布，为后续参数检验（如t检验、ANOVA）提供前提，是统计分析中重要的正态性检验工具。
Python中的Lillifors检验：原理、实现与应用
在统计分析中,检验数据是否符合特定分布（如正态分布）是数据预处理和假设检验的关键步骤，正态性检验广泛应用于t检验、方差分析、线性回归等方法的前提验证中，常见的正态性检验方法包括Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov（KS）检验等，但当总体均值和方差未知时，传统KS检验的临界值会因参数估计而产生偏差，为此，统计学家Hubert Lilliefors提出了改进方法——Lillifors检验，专门用于检验样本是否来自未知参数的正态分布，本文将详细介绍Lillifors检验的原理，并通过Python演示其实现方法与应用场景。
Lillifors检验的原理
传统KS检验的局限性
KS检验是通过比较样本经验分布函数（EDF）与理论分布函数（CDF）的最大差异（即D统计量）来判断样本是否符合理论分布，当理论分布的参数（如正态分布的μ和σ²）未知时，通常用样本均值和方差进行估计，这种参数估计会导致理论分布函数与真实分布产生偏差，使得传统KS检验的临界值偏小，容易犯“第一类错误”（即误判正态为非正态）。
Lillifors检验的改进
Lillifors检验的核心是对传统KS检验的临界值进行修正,其基本步骤如下：
- 参数估计：计算样本均值$\bar{x}$和样本标准差$s$，作为正态分布的参数估计；
- 构造理论分布：基于$\bar{x}$和$s$生成理论正态分布；
- 计算D统计量：计算样本经验分布与理论正态分布CDF的最大绝对差异；
- 修正临界值：通过蒙特卡洛模拟生成Lillifors临界值表（或近似计算），替代传统KS检验的临界值，从而提高检验准确性。
与Shapiro-Wilk检验相比，Lillifors检验在大样本（n>30）时更稳健，且对轻微偏离正态的数据更敏感。
Python中的Lillifors检验实现
Python中可通过statsmodels库实现Lillifors检验。statsmodels.stats.diagnostic.lilliefors函数是专门用于Lillifors检验的工具，其语法如下：
from statsmodels.stats.diagnostic import lilliefors # lilliefors(x, pvalmethod='approx') # x: 样本数据（一维数组） # pvalmethod: p值计算方法，可选'approx'（近似计算，默认）或'sim'（蒙特卡洛模拟） # 返回: (D统计量, p值)
安装与导入
若未安装statsmodels，可通过pip安装：
pip install statsmodels
代码示例
示例1：正态分布数据的检验
生成100个服从标准正态分布的样本,进行Lillifors检验：
import numpy as np
from statsmodels.stats.diagnostic import lilliefors
# 生成正态分布数据（均值=0，标准差=1，样本量=100）
np.random.seed(42) # 设置随机种子保证可重复性
data = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100)
# 执行Lillifors检验
d_stat, p_value = lilliefors(data, pvalmethod='approx')
print(f"D统计量: {d_stat:.4f}")
print(f"p值: {p_value:.4f}")
# 结果解读（显著性水平α=0.05）
if p_value > 0.05:
print("无法拒绝原假设，数据服从正态分布。")
else:
print("拒绝原假设，数据不服从正态分布。")
输出结果：
D统计量: 0.0387
p值: 0.7652
无法拒绝原假设，数据服从正态分布。结果显示,p值=0.7652>0.05，表明数据符合正态分布，与数据生成时的真实分布一致。
示例2：非正态分布数据的检验
生成100个服从指数分布的样本（明显非正态），检验其正态性：
# 生成指数分布数据（λ=1，样本量=100） data_exp = np.random.exponential(scale=1, size=100) # 执行Lillifors检验 d_stat_exp, p_value_exp = lillief
