Bottom-Up算法是一种自底向上的动态规划范式，通过从最小子问题迭代求解，逐步构建最终解，避免递归重复计算，Python实现中，常用列表存储子问题解，通过循环递推关系填充，代码简洁高效，适用于斐波那契数列、背包问题等，时间复杂度通常优于递归法，空间复杂度可通过滚动数组优化，其核心在于将复杂问题分解为可迭代的子问题，适合计算机高效处理。
深入理解自底向上（Bottom-Up）算法：Python实现与应用
在算法设计中,“自底向上”（Bottom-Up）作为一种核心的解题范式，与“自顶向下”（Top-Down）形成鲜明对比，它从问题的最小子问题出发，通过迭代求解并存储中间结果，逐步构建原问题的完整解，这种思想尤其适用于具备重叠子问题和最优子结构特性的问题（如动态规划经典场景），既能有效规避递归带来的重复计算，又能避免栈溢出风险，本文将结合Python代码实例，系统解析自底向上算法的原理、实现路径及典型应用场景。
自底向上算法的核心思想
自底向上算法本质上是“分治思想”的逆向实践：它不直接递归拆解原问题，而是从最基础的子问题入手，按规模从小到大的顺序逐步求解，最终聚合得到原问题答案，其核心步骤可概括为以下四步：
- 定义最小子问题：将原问题拆解为若干不可再分的、可直接求解的子问题（如斐波那契数列中的
F(0)=0和F(1)=1，这些是无需递归的“基准情况”）。 - 确定计算顺序：按照子问题规模从低到高排序，确保求解当前子问题时，所有依赖的更小子问题已全部解决（例如计算
F(3)前，必须先计算出F(2)和F(1)）。 - 存储中间结果：借助数组、字典等数据结构记录子问题的解，避免重复计算（动态规划中称为“状态转移”的基础）。
- 构建原问题解：基于已存储的中间结果，通过状态转移方程逐步推导，最终聚合得到原问题的解。
自底向上与自顶向下的深度对比
自顶向下算法通常采用递归+记忆化（如备忘录法）实现，从原问题出发逐层拆解；自底向上则通过迭代直接求解子问题，两者在思维路径、实现效率及适用场景上存在显著差异：
| 维度 | 自顶向下（Top-Down） | 自底向上（Bottom-Up） |
|---|---|---|
| 思维方式 | 递归拆解，从原问题向子问题回溯（“自上而下”） | 迭代构建，从子问题向原问题聚合（“自下而上”） |
| 实现方式 | 递归函数+备忘录（存储已计算子问题，避免重复递归） | 循环+数组/字典（按顺序存储子问题解，无递归调用） |
| 空间复杂度 | 包含递归栈开销（最坏情况O(n)），需额外备忘录空间 | 无递归栈，仅需存储必要中间结果（可优化至O(1)） |
| 时间效率 | 递归函数调用有开销，但可通过剪枝提前终止部分计算 | 无递归开销，计算过程直接，适合大规模数据 |
| 适用场景 | 问题规模较小，或存在剪枝优化条件时（如搜索问题） | 子问题重叠严重、规模较大时（如动态规划典型问题） |
Python实现：经典案例解析
案例1：斐波那契数列
斐波那契数列是自底向上算法的“入门教科书”，定义为：
F(0) = 0,F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 2）
自顶向下实现（递归+备忘录）
通过字典存储已计算结果,避免重复递归：
def fib_top_down(n, memo={}):
if n in memo: # 若子问题已解决，直接从备忘录返回
return memo[n]
if n <= 1: # 基准情况
return n
memo[n] = fib_top_down(n-1, memo) + fib_top_down(n-2, memo) # 递归求解并存储
return memo[n]
自底向上实现（迭代）
从最小子问题出发,逐步构建大问题解：
def fib_bottom_up(n):
if n <= 1: # 基准情况
return n
dp = [0] * (n + 1) # dp[i]存储F(i)，避免递归调用
dp[0], dp[1] = 0, 1 # 初始化最小子问题
for i in range(2, n + 1): # 按规模从小到大计算
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] # 基于已解决的子问题推导当前问题
return dp[n]
